ازگل‌کلم تا ابرهاي‌کومولوس
نگاهي به ساختارهاي نامنظم طبيعت، فراکتال‌ها

ازگل‌کلم تا ابرهاي‌کومولوس

نویسنده : مریم ملی

نمي‌دانم شما جزو کدام دسته هستيد؟ از آن دسته کساني که دوران تحصيل‌تان دشمن تمام مباحث رياضي بوديد و سر کلاس هندسه، نقاشي معلم‌تان را مي‌کشيديد و سر کلاس‌هاي رياضي و حساب (خصوصا از نوع ديفرانسيل و انتگرالش) خواب‌تان مي‌برده يا در جلسات جبر لحظه‌ها را مي‌شمرديد و توي هر 10 دقيقه 143 بار به ساعت‌تان نگاه مي‌کرديد که کي از شر اين کلاس خشک راه مي‌شويد! البته اين‌ها همه‌اش شد يک دسته و البته دسته دوم کساني هستند که حوزه استحفاظي‌شان حول و حوش تخته سياه کلاس و معلم‌هاي رياضي و مسئله‌هاي عجيب و غريبش بوده است. به هر حال جزو هر کدام از اين دسته‌ها که بوديد نمي‌توانيد اين را انکار کنيد که بخش بزرگي از زندگي ما با رياضيات گره خورده است آن‌قدر که حتي خيلي‌ها معتقدند هرکس مي‌خواهد خدا را بشناسد رياضيات بخواند يا رياضيات موسيقي ذهن است پس بايد آن را نواخت. يک کمي شبيه شعار شد(!) مي‌خواهيم برويم سراغ يک موضوع جذاب که خيلي هم قيافه‌اش به رياضي شبيه نيست و کلي هم هنري تشريف دارد، «فراکتال»‌ها که حتما براي خيلي‌ها موضوع بيگانه‌اي نيست.

جهان آشوب‌ناک اطراف ما

بيشتر ما وقتي محصل بوديم و (شايد الان هم هستيم) به اجبار و زور هم که بوده با هندسه اقليدسي آشنا شده‌ايم؛ هندسه‌اي که اصول‌اش بر مبناي اندازه‌گيري است. اين هندسه اشکال کلاسيک موجود در طبيعت را بررسي مي‌کند و براي اشکال آشفته و توابع ناهموار و غير کلاسيک يا به زبان خودمان همان شکل‌هاي نامنظم، هيچ توضيحي نداشت. اما بعد از اين‌که پاي نظريه آشوب به ميان آمد و کلي سوال توي ذهن دانشمندان شکل گرفت بايد چيزي پيدا مي‌شد که براي جهان آشوب ناک و شکل‌هاي نامنظمش توضيحي مي‌داد، اين جا دقيقا زماني بود که حرف از فراکتال‌ها به ميان آمد. نظريه آشوب، رفتار سيستم‌هايي را توضيح مي‌دهد که اگرچه ورودي آن‌ها قابل تعيين و اندازه‌گيري است اما خروجي اين سيستم‌ها، ظاهري تصادفي دارد. يعني اگرچه خود پديده‌ها به هيچ وجه تصادفي نيستند اما مي‌توانند به ظهور رفتارهاي بي‌قاعده و غيرقابل پيش‌بيني منجر شوند. اين نظريه يک زبان لازم دارد تا به کمک آن بتوانيم با تصويرسازي و بيان مفاهيم اصلي، آن را توضيح دهيم و اين زبان همان هندسه آشوب و فراکتال‌ها است. در اين هندسه با تصاوير متفاوتي سرو کار داريم که وقتي رسم مي‌شوند بزرگ‌ترين خصوصيات‌شان اين است که نمي‌دانيم در نهايت با چه پديده‌اي روبه رو خواهيم شد. گستره هندسه فراکتالي خيلي از علوم را در بر مي‌گيرد که در ادامه بيشتر درباره‌اش توضيح مي‌دهيم. از حرکت اشکال در فضا گرفته تا ناهمواري‌هاي دنيا و انرژي و تغييرات ديناميکي آن را نشان مي‌دهد.

عموي رياضي‌دان و ظهور فراکتال‌ها

در سال 1994 طلسم يکي از نظريه‌هاي رياضي که از سال 1897 مطرح شده بود شکسته شد و «بنديت مندلبورت» رياضيدان لهستاني هندسه جديدي را که به هندسه بدون اندازه يا فراکتالي معروف شد پايه‌گذاري کرد. اين هندسه اصلا شبيه تصوري که که ما از هندسه داريم نيست. انعطاف پذيري و قابليت بي‌نظيرش در شبيه‌سازي و تفسير اشکال گوناگون در طبيعت، باعث شده در تمام علوم از قبيل فيزيک، شيمي، زيست‌شناسي، زمين‌شناسي، پزشکي و... کاربرد داشته باشد. اين جناب مندلبورت هم براي خودش حکايتي دارد. او يک عموي خيلي جالب داشت که به بنديت رياضيات و البته خلاق فکر کردن را ياد مي‌داد عمويي که خودش پروفسور رياضي بود و در آن زمان که جنگ جهاني دوم در حال وقوع بود نگران برادرزاده‌اش بود که نمي‌توانست به مدرسه برود و به تحصيل بپردازد. در باره مندلبورت همه جا نوشته‌اند: جنگ، تنگ دستي و نياز به زندگي او را از مدرسه دور کرد. اما خيلي‌ها از نکته مثبتي که در دل اين قضيه است غافل‌اند. همان موضوعي که باعث مي‌شود همه ما خيال کنيم رياضيات خشک و مزخرف و غير قابل فهم است مي‌توانست همين تفکر را در مندلبورت به وجود آورد. اما به خاطر شرايط جنگ و تحصيل نکردن در محيطي مثل مدرسه و دانشگاه، ديد مندلبورت به هستي با ديد يک رياضي دان صرف يا يک دانشمند آکادميک متفاوت شد. او خود آموز درس خواند و درباره به جهان فکر کرد و کسي نبود که مجبورش کند فرمولي را حفظ کند و از آن فقط براي يک مورد خاص استفاده کند عمويش همراهش بود و راهنمايي‌اش مي‌کرد اما او با يک ديد انعطاف پذير به هستي توانست روش‌هاي خيلي جالبي براي استفاده از هندسه در رياضيات ابداع کند و اين طور شد که لقب پدر فراکتال‌ها به او داده شد.

موجودي با بعد کسري

خود اين کلمه فراکتال از يک عبارت لاتين (Fractus) به معناي سنگي که به طور نامنظم شکسته شده باشد گرفته شده است. همين الان اطراف شما را کلي فراکتال پر کرده است، گل‌هاي فرشي که زير پاي‌تان است، گل کلم‌هايي که توي مغازه ميوه فروشي سر خيابان هستند، شکل کوه‌ها، ابرها مخصوصا نوع کومولوس‌شان، دانه‌هاي برف و قطرات باران، ريشه و برگ درخت‌ها، رگ‌ها و مويرگ‌هاي توي بدن انسان، سوختگى‌هاي روى کاغذ، شکستگى‌هاي DVD و ساختارهاى زمين‌شناسى به خصوص اشکال زيبايى که در غارها مشاهده مى‌شود، همگي اشکال فراکتالي هستند. اگر کمي با دقت بيشتر به اطراف‌تان نگاه کنيد شکل‌هاي فراکتال ديگري هم پيدا مي‌کنيد مطمئن باشيد هندسه فراکتال بر بسياري از اشکال عالم حاکم است ؛ حتي اگر در نگاه اول چندان آشکار نباشد. اما خصوصيت مشترک اين شکل‌ها به نظر شما چيست؟ به شکل برگ سرخس نگاه کنيد حتما متوجه تشابه اجزاي مختلف آن مي‌شويد، ساختار کل ساقه همانند يک برگ و ساختار يک برگ همانند يک جزء کوچک آن است و اين ساختار تا بي‌نهايت بين اجزا تکرار شده است يعني تا جايي که ديگر شما نمي‌توانيد اين تکرار را تشخيص دهيد. دقيقا توي گل کلم هم همين طور است هر تکه از يک بوته اصلي گل کلم انگار خود، نوعي گل کلم ديگر اما در ابعاد کوچک‌تر است. در واقع يک قانون و قاعده خاص به ميزان نامحدودي تکرار مي‌شود. اگر فراکتال‌ها هنوز نتوانسته‌اند شما را متعجب کنند بايد بگويم که ابعاد آن‌ها مثل هيچ يک از چيزهايي که مي‌شناسيم نيست. نه مثل يک نقطه درون صفحه، صفر بعدي و نه هم چون يک خط راست، يک بعدي و نه حتي دو يا سه بعدي. با محاسباتي که براي به دست آوردن بعد اشيا انجام مي‌شود معلوم شده است که فراکتال‌ها ابعاد اعشاري يا کسري دارند مثلا 63/0 بعدي هستند! در فراکتال‌ها اين بعد فراکتالى است که مهم است نه مقياس. زيرا درهر اندازه‌اى، اين بعد فراکتالى حفظ مى‌شود و بيانگر خاصيت اصلى فراکتال است.

خود متشابه و فراکتال

در هندسه، تشابه معناي خاصي دارد که حتما آن را در کتاب‌هاي رياضي‌تان ديده‌ايد و مي‌دانيد که تشابه، يکساني اشکال در عين متفاوت بودن اندازه‌هاست. به زبان ساده‌تر اگر بتوانيد با بزرگ يا کوچک کردن دو شکل، آن‌ها را دقيقا همانند هم کنيد، آن دو شکل متشابه‌اند. اما شکل‌هاي خود متشابه کدام‌ها هستند؟ اشکال زيادي وجود دارند که فراکتالي نيستند اما خود متشابه‌اند.

به اين شکل دقت کنيد!

شکل کلي يک ذوزنقه است و خود از ذوزنقه‌هاي کوچک‌تر کنار هم پديد آمده است. اين مورد يک مثال از تشابه به خود است.

حال به اين مثلث خاص نگاه کنيد.

اين مثلث بزرگ که مثلث «سيرپينسکي» نام دارد، از مثلث‌هاي مشابه کوچک‌تر تشکيل شده است که همين طور کوچک‌تر و کوچک‌تر هم مي‌شوند. چند اندازه مثلث وجود دارد و آيا همه با هم و با مثلث بزرگ تشابه دارند؟ به نظر شما اگر شکل قرمز را شکل پايه در نظر بگيريم، در شکل آبي چند نمونه از آن وجود دارد؟ حالا به اين شکل‌ها توجه کنيد،

تشکيل از راه تکرار

مقصود از تشکيل از راه تکرار چيست؟ يعني براي درست کردن يک فراکتال مي‌توانيم يک شکل معمولي هندسي (مثلا يک خط) را انتخاب کنيم و با آن يک شکل بسازيم. سپس با شکل به دست آمده، شکل پيچيده تري مانند شکل‌هاي قبلي بسازيم و همين طور به اين کار ادامه دهيم. اشکال فراکتالي به اين طريق به وجود مي‌آيند و برنامه‌هاي کامپيوتري متعددي براي ايجاد آن‌ها نوشته شده است که هر کدام نام و روشي خاص دارند. مثلا همين مثلث سرپينسکي که در بالا ديديد.

چند تا از فراکتال‌هاي معروف

ساده‌ترين نوع فراکتال، فراکتال کانتور است. پاره خطى به طول يک واحد در نظر بگيريد و طول آن را به سه قسمت تقسيم کرده و قسمت وسطى را حذف کنيد. حالا دو تا خط داريم که طول آن‌ها يک سوم طول اوليه است. همين عمل را با هر کدام از اين پاره خط‌ها هم انجام مى‌دهيم. يعنى طول هر کدام را ثلث مى‌کنيم و قسمت وسطى را حذف مى‌کنيم. مى‌توان با کامپيوتر برنامه‌اى نوشت که اين عمليات را چندين بار پياپى انجام دهد. اگر اين عمليات را بى‌شمار بار انجام دهيم (کارى که از عهده کامپيوتر خارج است) شکلى به دست مى‌آيد که «مجموعه کانتور» نام دارد. اگر به کل شکل نگاه کنيم، ساختارى مى‌بينيم که تا بى‌نهايت ادامه دارد. اگر به سمت راست يا چپ خط دوم شکل نگاه کنيم، ساختارى مى‌بينيم که باز هم تا بى‌نهايت ادامه يافته و در عين حال، کاملا شبيه شکل کلى است. چنين ساختارهايى که هر جزء آن با کل مجموعه يکى است و فقط در مقياس تفاوت دارند را ساختارهاى خودمتشابه (Self-similar) مي‌گويند. يکى از مشهورترين انواع فراکتال‌ها توسط «هلگ فون‌کخ» در سال۱۹۰۴ طراحى شد، در اين نوع فراکتال، ابتدا يک پاره خط به طول يک واحد درنظر مى‌گيريم و آن را به سه قسمت تقسيم مى‌کنيم. سپس به جاى ضلع وسط دو ضلع مثلث متساوى‌الاضلاع را قرار مى‌دهيم. اين کار را همين طور ادامه مى‌دهيم. فراکتال کخ نيز يک نوع فراکتال خود متشابه است. اگر اين عمل را روى اضلاع يک مثلث متساوىالاضلاع انجام دهيم، شکل بسيار زيبايى به دست مى‌آيد که «دانه برف کخ» نام دارد.

فراکتال سرپينسکى يک فراکتال هندسى است. اگر مثلث وسطى يک مثلث متساوى‌الاضلاع را حذف کنيم و براى همه مثلث‌هاي باقى مانده هم اين عمل را تا بى‌نهايت ادامه دهيم، مجموعه زيبايى از مثلث‌هاي پر و خالى به وجود مى‌آيد که فراکتال سرپينسکى به دست خواهد آمد.

نقاشي و فراکتال‌ها

«جکسون پالاک» نقاشي است که کارهايش بي‌اندازه شبيه فراکتال‌هايي است که درباره‌شان گفتيم. او در زماني زندگي مي‌کرد که فرضيه بي‌نظمي جهان مطرح شده بود و دانشمندان سعي مي‌کردند بفهمند که ساختارهاي طبيعي به طور مثال عوض شدن فصول چگونه با زمان تغيير مي‌کنند. آن‌ها به اين نتيجه رسيده بودند که اين ساختارها تصادفي نيستند و رفتاري با قوانين خيلي پيچيده را دنبال مي‌کنند که به بي‌ساماني معروف‌اند. با به وجود آمدن هندسه فراکتالي خيلي از اين بي‌نظمي‌ها تفسير شدند. خيلي‌ها درباره آثار او گفته‌اند که در پس لکه‌ها و چکه‌هاي به ظاهر تصادفي جکسون پالاک قانون‌هاي پيچيده فراکتال‌ها حاکم است در حالي که پالاک اين نقاشي‌ها را 25 سال قبل از کشف فراکتال‌ها کشيده اما آثار فراکتالي در نقاشي‌هايش به وضوح ديده مي‌شود. کارهاي هنري او که در زمره اکسپرسيونيسم انتزاعي قرار مي‌گيرد در واقع تجربه‌اي از نظم درقالب بي‌نظمي است. تجزيه و تحليل آثار او با کامپيوتر نشان مي‌دهد که لايه‌هاي رنگ با دقت زيادي بر روي هم قرار گرفته و نظام‌هايي کاملا آگاهانه و شبيه فراکتال را پديد آورده‌اند.

کاربردهاي منحني‌هاي هيولا

در همه انواع فراکتال‌ها براى تبديل هر جزء به کل يا اجزاى کوچک‌تر، بايد همه ابعاد به يک مقياس بزرگ شوند. در کيهان‌شناسى، ساختار يک کهکشان با يک خوشه کهکشانى يک خوشه کهکشاني (مجموعه‌اى از هزاران کهکشان) نيز با يک ابرخوشه (مجموعه‌اى از هزاران خوشه کهکشانى) قابل قياس است. رشد نمونه‌هاي ميکروبيولوژيکى در محيط‌هاي کشت يا نحوه کارکردهاى پليمرهاى صنعتى مثل لاستيک‌ها و پليمرهاى حياتى مثل DNA و پروتئين‌ها از مواردى است که دانش فراکتال‌ها را مى‌توان در آن‌ها به کار برد. در کل مي‌شود گفت هندسه فراکتالي در بيشتر علوم کاربرد دارد.

فراکتال‌ها به خاطر ابعاد اعشاري‌شان، در ارتقاء کيفيت تصاوير و عکس‌ها از طريق فشرده سازي اطلاعات اساسي پيکسل‌ها نقش مهمي دارند. معمولا زماني که يک تصوير گرافيکي قرار است به شکل يک فايل تصويري ذخيره شود، بايد مشخصات هر نقطه از آن (شامل محل قرارگيري پيکسل و رنگ آن به‌صورت داده‌هاي عددي ذخيره شود و زماني که يک مرورگر بخواهد اين فايل را براي شما به تصوير بکشد و نمايش دهد، بايد بتواند اين کدهاي عددي را به ويژگي‌هاي گرافيکي تبديل کند و آن را به نمايش بگذارد. مشکلي که در اين کار وجود دارد، حجم بالايي از داده‌هاست که بايد از سوي نرم‌افزار ضبط کننده و توليد کننده بررسي شود. براي اين فشرده‌سازي از روش‌هاي مختلفي استفاده مي‌شود. در واقع در اين فشرده سازي‌ها بر اساس بعضي الگوريتم‌هاي کارآمد سعي مي‌شود به جاي ضبط تمام داده‌هاي يک پيکسل مشخصات اساسي از يک ناحيه ذخيره شود، که هنگام بازسازي تصوير نقشي اساسي‌تر را ايفا مي‌کنند.

نظرات کاربران
کد امنیتی
پربازدیدتریـــن ها
ذهن زیبا

ذهن زیبا

٩٥/٠٩/١٨
تولدنـوشت‌های اینستاگرامی سه نسل از جیمی‌ها به مناسـبت 19 آذر 10 سالگی جیم

دهه دومی شدیم:)

٩٥/٠٩/١٨
درباره مردانگی دختر شطرنج باز کشورمان که حسابی در رسانه‌های جهان ترکاند!

دختری از جنس آقا تختی!

٩٥/٠٩/١٨
وقتی که یک پای فرهنگ تعطیلی می‌لنگد

تعطیلیِ تعطیلات

٩٥/٠٩/١٨
حکایت هفته

اندر حکایت خراب کردن دیوار و مریدان

٩٥/٠٩/١٨
مینیمال

زن زندگی/مرد زندگی باس چی داشته باشه؟

٩٥/٠٩/١٨
نگاهی به تعطیلات رسمی ایران و دیگر کشورهای توسعه یافته دنیا

این همه تعطیلی چندتا لایک داره؟!

٩٥/٠٩/١٨
گفت‌وگو با دکتر علی چِشُمی عضو هیئت علمی اقتصاد دانشگاه فردوسی

تعطیلات آفت هست ولی نه برای اقتصاد فعلی ما!

٩٥/٠٩/١٨
فيلمى كه تكليفش نه با خودش مشخص است نه با ما

فيلم‌ هِنسى!

٩٥/٠٩/١٨
مینی‌ها

مینی پیشنهاد

٩٥/٠٩/١٨
#شگرد_خفن

زنده و مستقیم این‌جا اینستاگرام است!

٩٥/٠٩/١٨
#شگرد_خفن

خلاق‌های اینستاگرامی

٩٥/٠٩/١٨
گفت‌و‌گو با «ساراسادات خادم‌الشریعه»

در آن لحظه به نتایجم فکر نکردم

٩٥/٠٩/١٨
درباره تعطیلات و فرهنگ تعطیلی به بهانه احتمال اضافه شدن یک روز تعطیل دیگر به تقویم کشور از سال آینده

فیتیله چندتا تعطیله؟!

٩٥/٠٩/١٨
پیشنهاد جیم برای تاسیس یک وزارت خانه جدید:

وزارت تعطیلات حواسش به همه شنبه‌ها هست

٩٥/٠٩/١٨
روایت‌هایی از هفت‌خان خواستگاری‌های امروزی به بهانه شروع فصل خواستگاری‌ها

از خواستگاری تا ازدواج راه درازی ا‌ست!

٩٥/٠٩/١٨
محرمانه مستقیم

9 سال و ۳۶۴ روز!

٩٥/٠٩/١٨
فتوچاپ

فتوچاپ

٩٥/٠٩/١٨
تلگجیم

تلگجیم

٩٥/٠٩/١٨
چهره هفته

جینگولک بازی غربی‌ها

٩٥/٠٩/١٨